Монохроматическая волна - это строго гармоническая (синусоидальная) волна с постоянными во времени частотой, амплитудой и начальной фазой.
или в рассматриваемом случае одинакового направления колебаний векторов 1 и Е=Е 1 +Е 2 . (3)
Возводя равенство (3) в квадрат с учетом (1) и произведя усреднение по времени, получим
I=I
1 +I
2 +
2
(4)
где I 1 и I 2 - интенсивности первой и второй волны соответственно [см. (2.20)].
Максимальная интенсивность I макс = I 1 +I 2 +2 будет при условии
когда 
При I
1 = I
2 = I
0 интенсивность в максимумах увеличится в 4 раза (I макс =
4I
0).
Минимальная интенсивность I мин = I 1 +I 2 -2 будет при условии
когда 
При I
1 = I
2 = I
0 I мин =
0,
т.е. свет + свет = тьма
.
Следовательно, при сложении в пространстве двух (или нескольких) световых волн могут возникать в одних местах максимумы, а в других - минимумы интенсивности, т.е. светлые и темные участки, полосы.
Получившаяся картина будет устойчивой (т.е. она сохраняется во времени) при наложении когерентных волн, т.е. волн, излучаемых когерентными источниками.
Когерентные волны. Время и длина когерентности
Две волны [см. (1)] или несколько волн являются полностью когерентными (согласованными), если частоты их одинаковы, амплитуды и разность фаз постоянны, т.е.
w 1 = w 2 , E 10 = const, E 20 = const, j 2 - j 1 = const. (7)
Этомуусловию удовлетворяют монохроматические волны (1), которые неограниченны в пространстве и времени.
Из повседневного опыта известно, что при наложении света от двух независимых (некогерентных) источников излучения, например, двух электрических лампочек, никогда не удается наблюдать явление интерференции. В этом случае j
2 -j
1 изменяется во времени и за время наблюдения 
и не 
.
Это объясняется механизмом испускания света атомами источника излучения. В параграфе 2.4 было показано, что продолжительность процесса излучения света атомом t » 10 -8 с . За это время возбужденный атом , растратив свою избыточную энергию на излучение, возвращается в нормальное (невозбужденное) состояние и излучение им света прекращается. Затем, спустя некоторый промежуток времени, атом может вновь возбудиться и начать излучать свет.
Такое прерывистое излучение света атомами в виде отдельных кратковременных импульсов - цугов волн - характерно для любого источника света. Каждый цуг имеет ограниченную протяженность в пространстве Dx = ct и составляет 4 - 16 м в видимом диапазоне.
Вследствие этого, а также из-за уменьшения амплитуды волны, цуг волн отличается от монохроматической волны и его можно представить в виде совокупности (суммы) монохроматических волн, круговые частоты которых лежат в интервале от w-Dw /2 до w+ Dw /2. Можно показать, что
Реальная волна, излучаемая в течение ограниченного промежутка времени и охватывающая ограниченную область пространства тем более не является монохроматической. Спектр ее частот включает частоты от w-Dw/2 до w+ Dw/2.
Промежуток времени t ког , в течение которого разность фаз колебаний, соответствующих волнам с частотами w-Dw /2 и w + Dw /2 изменяется на p , называется периодом когерентности немонохроматической волны
. (9)
Это название связано с тем, что немонохроматическую волну можно приближенно считать когерентной с частотой w в течение промежутка времени Dt £t ког .
Отметим, что для монохроматической волны Dw и Dn равны нулю и t ког ®¥.
Расстояние l ког , на которое распространится волна за время когерентности, называется длиной когерентности l ког = vt ког. (10)
Для видимого солнечного света, имеющего спектр частот от 4 × 10 14 до 8 × 10 14 Гц (l = 0,75 мкм и 0,375 мкм соответственно), ширина спектра Dw = 2pDn = 2p (8-4) × 10 14 = 8p ×10 14 c -1 и согласно (9), (10) t ког = 2,5 × 10 -15 с , l ког = 0,75 × 10 -6 м . (11)
Заметим, что для лазеров непрерывного действия t ког достигает 10 -2 с, а l ког » 10 6 м. Однако из-за неоднородности атмосферы удается наблюдать интерференцию при разности хода в несколько километров.
Пространственная когерентность
Наряду с временной когерентностью для описания когерентных свойств волн в плоскости, перпендикулярной направлению их распространения, вводится понятие пространственной когерентности.
Одной из ее характеристик является радиус когерентности r ког , характеризующий расстояние, на котором может быть получена четкая интерференционная картина (r ког это не радиус окружности).
Произведение l ког r ког 2 = V ког называют объемом когерентности, в пределах которого случайная фаза волны изменяется на величину, не превосходящую p .
Методы получения когерентных волн
Для получения когерентных световых волн с помощью обычных (нелазерных) источников применяют метод разделения света от одного источника на две или нескольких систем волн (световых пучков). В каждой из них представлено излучение одних и тех же атомов источника, так что эти волны когерентны между собой и интерферируют при наложении.
Разделение света на когерентные пучки можно осуществить с помощью экранов и щелей, зеркал и преломляющих тел. Рассмотрим некоторые из этих методов.
Метод Юнга
Источником света служит ярко освещенная щель S , от которой световая волна падает на две узкие щели S 1 и S 2 , параллельные щели S .
Таким образом, щели S 1 и S 2 играют роль когерентных источников. На экране Э (область ВС ) наблюдается интерференционная картина в виде чередующихся светлых и темных полос.
Бипризма Френеля .
Она состоит из двух одинаковых сложенных основаниями призм. Свет от источника S преломляется в обеих призмах, в результате чего за призмой распространяются лучи, как бы исходящие от мнимых источников S 1 и S 2 , являющихся когерентными. Таким образом, на экране Э (область ВС ) наблюдается интерференционная картина.
Оптическая длина пути и разность хода
Пусть две когерентные волны (см. 3.1) создаются одним источником S , но до экрана проходят разные геометрические длины путей l 1 и l 2 в средах с абсолютными показателями преломления n 1 и n 2 , соответственно (рис. 4). Тогда фазы этих волн [см. (1) и (2.9)] wt - j 1 = wt - k 1 l 1 + j 0 , wt - j 2 = wt - k 2 l 1 + j 0, а разность фаз
j
2 -j
1 = k
2 l
2 - k
1 l
1 =
, (12)
где l 1 = l/n 1 , l 2 = l/n 2 - длины волн в средах, показатели преломления которых n 1 и n 2 соответственно, l - длина волны в вакууме.
Произведение геометрической длины пути l световой волны на абсолютный показатель преломления n называется оптической длиной пути волны.
Величину 
(13)
называют оптической разностью хода интерферирующих волн. С учетом этого разность фаз j 2 - j 1 = . (14)
Максимальная интенсивность будет наблюдаться при j 2 - j 1 = 2pm [см. (5)], когда
=ml
, 
, (15)
т.е. когда оптическая разность хода равна целому числу длин волн. Это условие максимума при интерференции.
Минимальная интенсивность будет наблюдаться при [см. (6)], когда
=
,
(16)
т.е. когда оптическая разность хода равна нечетному числу полуволн (l/2). Это условие минимума при интерференции.
Рассмотрим волну, распространяющуюся в пространстве. Когерентность - это мера корреляции между ее фазами, измеренными в различных точках. Когерентность волны зависит от характеристик ее источника.
Два типа когерентности
Когда описывают когерентность световых волн, различают два ее типа - временную и пространственную.
Когерентность относится к способности света производить Если две световые волны сведены вместе, и они не создают областей повышенной и уменьшенной яркости, они называются некогерентными. Если они производят «идеальную» интерференционную картину (в смысле существования областей полной деструктивной интерференции), то они являются полностью когерентными. Если две волны создают «менее совершенную» картину, то считается, что они частично когерентны.
Интерферометр Майкельсона
Когерентность - это явление, которое лучше всего объяснить с помощью эксперимента.
В интерферометре Майкельсона свет от источника S (который может быть любым: солнцем, лазером или звездами) направлен на полупрозрачное зеркало M 0 , которое отражает 50 % света в направлении зеркала M 1 и пропускает 50 % в направлении зеркала M 2 . Луч отражается от каждого из зеркал, возвращается к M 0 , и равные части света, отраженные от М 1 и М 2, объединяются и проецируются на экран B. Прибор можно настроить путем изменения расстояния от зеркала M 1 до светоделителя.
Интерферометр Майкельсона, по существу, смешивает луч с задержанной во времени его собственной версией. Свет, который проходит по пути к зеркалу M 1 должен пройти расстояние на 2d больше, чем луч, который движется к зеркалу M 2 .
Длина и время когерентности
Что наблюдается на экране? При d = 0 видно множество очень четких интерференционных полос. Когда d увеличивается, полосы становится менее выраженными: темные участки становятся ярче, а светлые - тусклее. Наконец, при очень больших d, превышающих некоторое критическое значение D, светлые и темные кольца исчезают полностью, оставляя лишь размытое пятно.
Очевидно, что световое поле не может интерферировать с задержанной во времени версией самого себя, если временная задержка достаточно велика. Расстояние 2D - это длина когерентности: интерференционные эффекты заметны, только когда разница в пути меньше этого расстояния. Данную величину можно преобразовать во время t c делением ее на с: t c = 2D / с.
Измеряет временную когерентность световой волны: ее способность интерферировать с задержанной версией самой себя. У хорошо стабилизированного лазера t c =10 -4 с, l c = 30 км; у фильтрованного теплового света t c =10 -8 с, l c = 3 м.
Когерентность и время
Временная когерентность - это мера корреляции между фазами световой волны в различных точках вдоль направления распространения.
Предположим, источник излучает волны длиной λ и λ ± Δλ, которые в какой-то момент в пространстве будут интерферировать на расстоянии l c = λ 2 / (2πΔλ). Здесь l c - длина когерентности.
Фаза волны, распространяющейся в направлении х, задается как ф = kx - ωt. Если рассмотреть рисунок волн в пространстве в момент времени t на расстоянии l c , разность фаз между двумя волнами с векторами k 1 и k 2 , которые находятся в фазе при х = 0, равна Δφ = l c (k 1 - k 2). Когда Δφ = 1, или Δφ ~ 60°, свет больше не является когерентным. Интерференция и дифракция оказывают значительное влияние на контраст.
Таким образом:
- 1 = l c (k 1 - k 2) = l c (2π / λ - 2π / (λ + Δλ));
- l c (λ + Δλ - λ) / (λ (λ + Δλ)) ~ l c Δλ / λ 2 = 1/2π;
- l c = λ 2 / (2πΔλ).
Волна проходит через пространство со скоростью с.
Время когерентности t c = l c / с. Так как λf = с, то Δf / f = Δω / ω = Δλ / λ. Мы можем написать
- l c = λ 2 / (2πΔλ) = λf / (2πΔf) = с / Δω;
- t c = 1 / Δω.
Если известна или частота распространения источника света, можно вычислить l c и t c . Невозможно наблюдать интерференционную картину, полученную путем деления амплитуды, такую как тонкопленочная интерференция, если оптическая разность хода значительно превышает l c .
Временная когерентность говорит о монохромности источника.
Когерентность и пространство
Пространственная когерентность - это мера корреляции между фазами световой волны в различных точках поперечно по отношению к направлению распространения.
При расстоянии L от теплового монохроматического (линейного) источника, линейные размеры которого порядка δ, две щели, расположенные на расстоянии, превышающем d c = 0,16λL / δ, больше не производят узнаваемую интерференционную картину. πd c 2 / 4 является площадью когерентности источника.
Если в момент времени t посмотреть на источник шириной δ, расположенный перпендикулярно расстоянию L от экрана, то на экране можно увидеть две точки (P1 и P2), разделенные расстоянием d. Электрическое поле в P1 и P2 представляет собой суперпозицию электрических полей волн, испускаемых всеми точками источника, излучение которых не связано между собой. Для того чтобы покидающие P1 и P2, создавали узнаваемую интерференционную картину, суперпозиции в P1 и P2 должны находиться в фазе.
Условие когерентности
Световые волны, излучаемые двумя краями источника, в некоторый момент времени t обладают определенной разностью фаз прямо в центре между двумя точками. Луч, идущий от левого края δ до точки P2 должен пройти на d(sinθ)/2 дальше, чем луч, направляющийся к центру. Траектория луча, идущего от правого края δ до точки P2, проходит путь на d(sinθ)/2 меньше. Разность пройденного пути для двух лучей равна d·sinθ и представляет разность фаз Δф" = 2πd·sinθ / λ. Для расстояния от P1 до P2 вдоль фронта волны мы получаем Δφ = 2Δφ"= 4πd·sinθ / λ. Волны, испускаемые двумя краями источника, находятся в фазе с P1 в момент времени t и не совпадают по фазе на расстоянии 4πdsinθ/λ в Р2. Так как sinθ ~ δ / (2L), то Δφ = 2πdδ / (Lλ). Когда Δφ = 1 или Δφ ~ 60°, свет больше не считается когерентным.
Δφ = 1 -> d = Lλ / (2πδ) = 0,16 Lλ / δ.
Пространственная когерентность говорит об однородности фазы волнового фронта.
Лампа накаливания является примером некогерентного источника света.
Когерентный свет можно получить от источника некогерентного излучения, если отбросить большую часть излучения. В первую очередь производится пространственная фильтрация для повышения пространственной когерентности, а затем спектральная фильтрация для увеличения временной когерентности.
Ряды Фурье
Синусоидальная плоская волна абсолютно когерентна в пространстве и времени, а ее длина, время и площадь когерентности бесконечны. Все реальные волны являются волновыми импульсами, длящимися в течение конечного интервала времени и имеющими конечный перпендикуляр к их направлению распространения. Математически они описываются непериодическими функциями. Для нахождения частот, присутствующих в волновых импульсах для определения Δω и длины когерентности необходимо провести анализ непериодических функций.
Согласно анализу Фурье, произвольную периодическую волну можно рассматривать как суперпозицию синусоидальных волн. Синтез Фурье означает, что наложение множества синусоидальных волн позволяет получить произвольную периодическую форму волны.
Связь со статистикой
Теорию когерентности можно рассматривать как связь физики с другими науками, так как она является результатом слияния электромагнитной теории и статистики, так же как статистическая механика является объединением механики со статистикой. Теория используется для количественного определения и характеристики влияний случайных флуктуаций на поведение световых полей.
Обычно невозможно измерить флуктуации волнового поля непосредственно. Индивидуальные «подъемы и падения» видимого света нельзя обнаружить непосредственно или даже имея сложные приборы: его частота составляет порядка 10 15 колебаний в секунду. Можно измерить только усредненные показатели.
Применение когерентности
Связь физики с другими науками на примере когерентности можно проследить в ряде приложений. Частично когерентные поля менее подвержены воздействию атмосферной турбулентности, что делает их полезными для лазерной связи. Также они применяются при исследовании лазерно-индуцированных реакций термоядерного синтеза: уменьшение эффекта интерференции приводит к «плавному» действию луча на термоядерную мишень. Когерентность используется, в частности, для определения размера звезд и выделения двойных звездных систем.
Когерентность световых волн играет важную роль в изучении квантовых, а также классических полей. В 2005 году Рой Глаубер стал одним из лауреатов Нобелевской премии по физике за вклад в развитие квантовой теории оптической когерентности.
Когерентностью называется согласованное протекание нескольких колебательных или волновых процессов. Степень согласования может быть различной. Соответственно вводится понятие степени когерентности двух волн.
Пусть в данную точку пространства приходят две световые волны одинаковой частоты, которые возбуждают в этой точке колебания одинакового направления (обе волны поляризованы одинаковым образом):
Е = А 1 соs(wt + a 1),
Е = A 2 cos(wt + a 2), тогда амплитуда результирующего колебания
А 2 = А 1 2 +А 2 2 + 2А 1 А 2 соsj, (1)
где j = a 1 - a 2 = const.
Если частоты колебаний в обеих волнах w одинаковы, а разность фаз j возбуждаемых колебаний остается постоянной во времени, то такие волны называются когерентными.
Приналожении когерентных волн они дают устойчивое колебание с неизменной амплитудой А = соnst, определяемой выражением (1) и в зависимости от разности фаз колебаний лежащей в пределах
|а 1 –А 2 ê £ A £ а 1 +А 2.
Т.о., когерентные волны при интерференции друг с другом дают устойчивое колебание с амплитудой не больше суммы амплитуд интерферирующих волн.
Если j = p, тогда соsj = -1 и а 1 = А 2 , a амплитуда суммарного колебания равна нулю, и интерферирующие волны полностью гасят друг друга.
В случае некогерентных волн j непрерывно изменяется, принимая с равной вероятностью любые значения, вследствие чего среднее по времени значение
А 2 > = <А 1 2 > + <А 2 2 >,
откуда интенсивность, наблюдаемая при наложении некогерентных волн, равна сумме интенсивностей, создаваемых каждой из волн в отдельности:
В случае когерентных волн, соsj имеет постоянное во времени значение (но свое для каждой точки пространства), так что
I = I 1 + I 2 + 2Ö I 1 × I 2 cosj (2)
В тех точках пространства, для которых соsj >0, I> I 1 +I 2 ; в точках, для которых соsj<0, Iинтерференцией волн. Особенно отчетливо проявляется интерференция в том случае, когда интенсивности обеих интерферирующих волн одинаковы: I 1 =I 2 . Тогда согласно (2) в максимумах I = 4I 1 , в минимумах же I = 0. Для некогерентных волн при том же условии получается всюду одинаковая интенсивность I = 2I 1 .
Все естественные источники света (Солнце, лампочки накаливания и т.д.) не когерентны.
Некогерентность естественных источников света обусловлена тем, что излучение светящегося тела слагается из волн, испускаемых многими атомами. Отдельные атомы излучают цуги волн длительностью порядка 10 -8 с и протяженностью около 3 м. Фаза нового цуга никак не связана с фазой предыдущего цуга. В испускаемой телом световой волне излучение одной группы атомов через время порядка 10 -8 с сменяется излучением другой группы, причем фаза результирующей волны претерпевает случайные изменения.
Некогерентными и не могущими интерферировать др. с др. являются волны, испускаемые различными естественными источниками света. А можно ли вообще для света создать условия, при которых наблюдались бы интерференционные явления? Как, пользуясь обычными некогерентными излучателями света, создать взаимно когерентные источники?
Когерентные световые волны можно получить, разделив (с помощью отражений или преломлений) волну, излучаемую одним источником света, на две части, Если заставить эти две волны пройти разные оптические пути, а потом наложить их др. на др., наблюдается интерференция. Разность оптических длин путей, проходимых интерферирующими волнами, не должна быть очень большой, так как складывающиеся колебания должны принадлежать одному и тому же результирующему цугу волн. Если эта разность ³1м, наложатся колебания, соответствующие разным цугам, и разность фаз между ними будет непрерывно изменяться хаотическим образом.
Пусть разделение на две когерентные волны происходит в точке О (рис.2).
До точки Р первая волна проходит в среде показателем преломления n 1 путь S 1 , вторая волна проходит в среде с показателем преломления n 2 путь S 2 . Если в точке О фаза колебания равна wt, то первая волна возбудит в точке Р колебание А 1 соsw(t – S 1 /V 1), а вторая волна -колебание А 2 соsw(t – S 2 /V 2), где V 1 и V 2 - фазовые скорости. Следовательно, разность фаз колебаний, возбуждаемых волнами в точке Р, будет равна
j = w(S 2 /V 2 – S 1 /V 1) = (wc)(n 2 S 2 – n 1 S 1).
Заменим w/с через 2pn/с = 2p/lо (lо - длина волны в),тогда
j = (2p/lо)D, где (3)
D= n 2 S 2 – n 1 S 1 = L 2 - L 1
есть величина, равная разности оптических длин, проходимых волнами путей, и называется оптической разностью хода.
Из (3) видно, что если оптическая разность хода равна целому числу длин волн в вакууме:
D = ±mlо (m = 0,1,2), (4)
то разность фаз оказывается кратной 2p и колебания, возбуждаемые в точке Р обеими волнами, будут происходить с одинаковой фазой. Т.о., (4) есть условие интерференционного максимума.
Если оптическая разность хода D равна полуцелому числу длин волн в вакууме:
D = ± (m + 1/2)lо (m =0, 1,2, ...), (5)
то j = ± (2m + 1)p, так что колебания в точке Р находятся в противофазе. Следовательно, (5) есть условие интерференционного минимума.
Принцип получения когерентных световых волн разделением волны на две части, проходящие различные пути, может быть практически осуществлен различными способами - с помощью экранов и щелей, зеркал и преломляющих тел.
Впервые интерференционную картину от двух источников света наблюдал в 1802 году английский ученый Юнг. В опыте Юнга (рис.3) свет от точечного источника (малое отверстие S) проходит через две равноудаленные щели (отверстия) А 1 и А 2 , являющиеся как бы двумя когерентными источниками (две цилиндрические волны). Интерференционная картина наблюдается на экране Ё, расположенном на некотором расстоянии l параллельно А 1 А 2 . Начало отсчета выбрано в точке 0, симметричной относительно щелей.
Плоская св. S O
A 2 S 2 l
Усиление и ослабление света в произвольной точке Р экрана зависит от оптической разности хода лучей D =L 2 – L 1 . Для получения различимой интерференционной картины расстояние между источниками А 1 А 2 =d должно быть значительно меньше расстояния до экрана l . Расстояние х, в пределах которого образуются интерференционные полосы, значительно меньше l . При этих условиях можно положить S 2 – S 1 » 2l . Тогда S 2 – S 1 » xd/l . Умножив на n,
D = nxd/l . (6)
Подставив (6) в (4) получим, что максимумы интенсивности будут наблюдаться при значениях х, равных
х max = ± ml l/d (m = 0, 1,2,.,.). (7)
Здесь l = l 0 /n - длина волны в среде, заполняющей пространство между источниками и экраном.
Координаты минимумов интенсивности будут:
х min = ±(m +1/2)ll/d (m = 0,1,2,...). (8)
Расстояние между двумя соседними максимумами интенсивности называется расстоянием между интерференционными полосами, а расстояние между соседними минимумами - шириной интерференционной полосы. Из (7) и (8) следует, что расстояние между полосами и ширина полосы имеют одинаковое значение, равное
Dх = l l/d. (9)
Измеряя параметры, входящие в (9), можно определить длину волны оптического излучения l. Согласно (9) Dх пропорционально 1/d, поэтому чтобы интерференционная картина была четко различима, необходимо соблюдение упоминавшегося выше условия: d<< l . Главный максимум, соответствующий m = 0, проходит через точку 0. Вверх и вниз от него на равных расстояниях друг от друга располагаются максимумы (минимумы) первого (m =1), второго (m = 2) порядков и т.д.
Такая картина справедлива при освещении экрана монохроматическим светом (l 0 = const). При освещении белым светом интерференционные максимумы (и минимумы) для каждой длины волны будут, согласно формуле (9), смещены друг относительно друга и иметь вид радужных полос. Только для m = 0 максимумы для всех длин волн совпадают, и в середине экрана будет наблюдаться светлая полоса, по обе стороны от которой симметрично расположатся спектрально окрашенные полосы максимумов первого, второго порядков и т д. (ближе к центральной светлой полосе будут находиться зоны фиолетового цвета, дальше – зоны красного цвета).
Интенсивность интерференционных полос не остается постоянной, а изменяется вдоль экрана по закону квадрата косинуса.
Наблюдать интерференционную картину можно с помощью зеркала Френеля, зеркала Лойда, бипризмы Френеля и других оптических устройств, а также при отражении света от тонких прозрачных пленок.
Когерентностьюназывается согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов, проявляющееся при их сложении.
Пусть в данную точку пространства приходят две световые волны Е 1 и Е 2 одинаковой частоты, которые возбуждают в этой точке колебания одинакового направления (обе волны поляризованы одинаковым образом):
Е 1 = А 1 соs(wt + a 1),
Е 2 = A 2 cos(wt + a 2).
Согласно принципу суперпозиции, напряженность результирующего поля равна Е = Е 1 + Е 2 . Тогда амплитуда А результирующего колебания той же частоты может быть определена из выражения:
А 2 = А 1 2 +А 2 2 + 2А 1 А 2 соsj, (1)
где j = a 1 - a 2 = const.
Если частоты колебаний в обеих волнах w одинаковы а разность фаз j возбуждаемых колебаний остается постоянной во времени, то такие волны называются когерентными. Дляэлектромагнитных волн существует дополнительное ограничение – не дают интерференционной картины когерентные волны ортогональной поляризации.
Приналожении когерентных волн они дают устойчивое колебание с неизменной амплитудойА = соnst, определяемой выражением (1) и в зависимости от разности фаз колебаний лежащей в пределах
|а 1 –А 2 ê £ A £ а 1 +А 2.
Т.о., когерентные волны при интерференции друг с другом дают устойчивое колебание с амплитудой не больше суммы амплитуд интерферирующих волн.
Если j = p, тогда соsj = -1, и А 1 = А 2 , то амплитуда суммарного колебания равна нулю, и интерферирующие волны полностью гасят друг друга.
В случае некогерентных волн j непрерывно изменяется, принимая с равной вероятностью любые значения, вследствие чего среднее по времени значение
<А 2 > = <А 1 2 > + <А 2 2 >,
откуда интенсивность, наблюдаемая при наложении некогерентных волн, равна сумме интенсивностей, создаваемых каждой из волн в отдельности:
В случае когерентных волн, соsj имеет постоянное во времени значение (но свое для каждой точки пространства), так что
I = I 1 + I 2 + 2Ö I 1 × I 2 cosj . (2)
В тех точках пространства, для которых соsj > 0, I> I 1 +I 2 ; в точках, для которых соsj < 0, I
Если имеются отклонения от сформулированных условий когерентности, например, частоты двух складываемых монохроматических волн несколько отличаются, то интерференционная картина может становиться неустойчивой, возникает эффект плывущей картины. Если же частоты складываемых волн совпадают, но разность фаз между ними изменяется со временем, то интерференционная картина, как правило, остается стационарной, но ее контрастность (соотношение интенсивностей соседних максимумов и минимумов) уменьшается.
Все естественные источники света (Солнце, лампочки накаливания и т.д.) не излучают электромагнитных волн одной определенной и строго постоянной частоты, поэтому световые волны, излучаемые любыми независимыми естественными источниками света, всегда некогерентны и, используя два таких источника, невозможно получить интерференцию света.
Некогерентность естественных источников света обусловлена тем, что излучение светящегося тела слагается из волн, испускаемых многими атомами. Отдельные атомы излучают цуги волн длительностью порядка 10 -8 с и протяженностью около 3 м. Фаза нового цуга никак не связана с фазой предыдущего цуга. В испускаемой телом световой волне излучение одной группы атомов через время порядка 10 -8 с сменяется излучением другой группы, причем фаза результирующей волны претерпевает случайные изменения. Когерентность существует только в пределах одного цуга. Средняя продолжительность одного цуга τ называется временем когерентности. Если волна распространяется в однородной среде, то фаза колебаний в какой-либо определенной точке пространства остается постоянной только в течение времени когерентности. За это время волна распространяется на расстояние l ког = Vτ, называемое длиной когерентности (или длиной цуга). Колебания в точках, удаленных друг от друга на расстояниях больших длины когерентности вдоль направления распространения волны, будут некогерентными.
Лазерное излучение характеризуется высокой степенью монохроматичности, т.е излучение происходит на одной определенной и строго постоянной частоте, поэтому можно наблюдать интерференцию световых пучков, излучаемых двумя разными лазерами.
А как можно, пользуясь обычными некогерентными излучателями света, создать взаимно когерентные источники?
Когерентные световые волны можно получить, разделив (с помощью отражений или преломлений) волну, излучаемую одним источником света, на две части. Если заставить эти две волны пройти разные оптические пути, а потом наложить их друга на друга, то наблюдается интерференция. Разность оптических длин путей, проходимых интерферирующими волнами, не должна быть очень большой, так как складывающиеся колебания должны принадлежать одному и тому же результирующему цугу волн. Если эта разность ³ 1м, то будет наблюдаться наложение колебаний, соответствующих разным цугам, разность фаз между которыми будет непрерывно изменяться хаотическим образом, и интерференция не наблюдается.
Пусть разделение на две когерентные волны происходит в точке О (рис.2).
n 2 S 2 P `V
До точки Р первая волна проходит в среде показателем преломления n 1 путь S 1 , вторая волна проходит в среде с показателем преломления n 2 путь S 2 . Если в точке О фаза колебания равна wt, то первая волна возбудит в точке Р колебание А 1 соsw(t – S 1 /V 1), а вторая волна -колебание А 2 соsw(t – S 2 /V 2), где V 1 и V 2 - фазовые скорости волны в первой и второй средах соответственно. Следовательно, разность фаз колебаний, возбуждаемых волнами в точке Р, будет равна
j = w(S 2 /V 2 – S 1 /V 1) = (wc)(n 2 S 2 – n 1 S 1).
Заменим w/с через 2pn/с = 2p/lо, тогда
J = (2p/lо)D, (3)
где D= n 2 S 2 – n 1 S 1 = L 2 - L 1 - величина, равная разности оптических длин, проходимых волнами путей, и называется оптической разностью хода.
Из (3) видно, что если оптическая разность хода равна целому числу длин волн в вакууме:
D = ±mlо (m = 0,1,2,….), (4)
то разность фаз оказывается кратной 2p и колебания, возбуждаемые в точке Р обеими волнами, будут происходить с одинаковой фазой. Таким образом, (4) есть условие интерференционного максимума.
Если оптическая разность хода D равна полуцелому числу длин волн в вакууме:
D = ± (m + 1/2)lо (m =0, 1,2, ...), (5)
то j = ± (2m + 1)p, то есть колебания в точке Р находятся в противофазе. Следовательно, (5) есть условие интерференционного минимума.
Принцип получения когерентных световых волн разделением волны на две части, проходящие различные пути, может быть практически осуществлен различными способами - с помощью экранов и щелей, зеркал и преломляющих тел.
3.Методы наблюдения интерференции света: опыт Юнга, метод зеркал Френеля, бипризма Френеля. Впервые интерференционную картину от двух источников света наблюдал в 1802 году английский ученый Юнг. В опыте Юнга (рис.3) источником света служит ярко освещенная щель S, от которой световая волна падает на две равноудаленные щели А 1 и А 2 , являющиеся двумя когерентными источниками света (две цилиндрические волны). Интерференционная картина наблюдается на экране Е, расположенном на некотором расстоянии l параллельно А 1 А 2 . Начало отсчета выбрано в точке 0, симметричной относительно щелей.
P
Плоская св. S O
A 2 S 2 l
Усиление и ослабление света в произвольной точке Р экрана зависит от оптической разности хода лучей D =nS 2 - n S 1 = L 2 – L 1 . Для получения различимой интерференционной картины расстояние между источниками А 1 А 2 = d должно быть значительно меньше расстояния l от источников до экрана. Расстояние х на экране, в пределах которого образуются интерференционные полосы, значительно меньше l . При этих условиях можно положить, что S 2 + S 1 » 2l . Из рис.3 по теореме Пифагора имеем
S 2 2 = l 2 + (x +d/2) 2 ; S 1 2 = l 2 + (x - d/2) 2 ,
откуда S 2 2 - S 1 2 = 2xd, а
S 2 – S 1 » xd/l .
Умножив это выражение справа и слева на показатель преломления среды n, получим
D = nxd/l . (6)
Подставив (6) в (4) получим, что максимумы интенсивности будут наблюдаться при значениях х, равных
х max = ± ml l/d, (m = 0, 1,2,.,.). (7)
Здесь l = l 0 /n - длина волны в среде, заполняющей пространство между источниками и экраном.
Координаты минимумов интенсивности будут:
х min = ±(m +1/2)l l/d, (m = 0,1,2,...). (8)
Расстояние между двумя соседними максимумами интенсивности называется расстоянием между интерференционными полосами, а расстояние между соседними минимумами - шириной интерференционной полосы. Из (7) и (8) следует, что расстояние между полосами и ширина полосы не зависят от порядка интерференции (величины m), являются постоянными для данных условий эксперимента l ,l,d и имеют одинаковое значение, равное
Dх = l l/d. (9)
Измеряя параметры, входящие в (9), можно экспериментально определить длину волны оптического излучения l. Согласно (9) Dх пропорционально l /d, поэтому чтобы интерференционная картина была четко различима, необходимо соблюдение упоминавшегося выше условия: d<< l . Главный максимум, соответствующий m = 0, проходит через точку 0. Вверх и вниз от него на равных расстояниях друг от друга располагаются максимумы и минимумы интенсивности первого (m =1), второго (m = 2) порядков и т.д., которые представляют собой чередующиеся светлые и темные полосы, параллельные друг другу.
Такая картина справедлива при освещении экрана монохроматическим светом (l 0 = const). При освещении белым светом интерференционные максимумы и минимумы для каждой длины волны будут, согласно формуле (9), смещены друг относительно друга и иметь вид радужных полос. Только для главного максимума максимумы для всех длин волн совпадают, и в середине экрана будет наблюдаться светлая полоса, по обе стороны от которой симметрично расположатся спектрально окрашенные полосы максимумов первого, второго порядков и т д. Ближе к центральной светлой полосе будут находиться зоны фиолетового цвета, а дальше – зоны красного цвета.
Интенсивность интерференционных полос не остается постоянной, а изменяется вдоль экрана по закону квадрата косинуса.
Наблюдать интерференционную картину можно также с помощью зеркала Френеля, рис 4. (рис. 4.3 из Ландсберга, стр.71). Бизеркало Френеля состоит из двух плоских зеркал, расположенных под углом, близким 180 0 .
Свет от источника S падает расходящимся пучком на бизеркало, отражается зеркалами 1 и 2 и представляет собой две системы когерентных волн, как бы исходящих из источников S 1 и S 2 , являющихся мнимыми изображениями источника S в зеркалах 1 и 2. Мнимые источники S 1 и S 2 взаимно когерентны, и исходящие из них световые волны приходят в различные точки экрана Е с некоторой разностью фаз, определяемой различием в длине пути от источников S 1 и S 2 до соответствующей точки экрана, и интерферируют. Освещенность экрана в разных точках будет различной. Интерференционная картина будет тем шире, чем меньше угол между зеркалами, а экран должен быть расположен достаточно далеко от зеркала. Прямые лучи от источника света S не доходят до экрана, так как их задерживает заслонка Z.
Бипризма Френеля (рис.5 –рис.247 из Трофимовой, стр.323) состоит из двух одинаковых, сложенных основаниями призм с малыми преломляющими углами.
Свет от источника S преломляется в обеих призмах, в результате за призмой распространяются световые волны исходящие как бы из двух мнимых источников света S 1 и S 2 , являющихся когерентными. На достаточно удаленном от призмы экране Е происходит наложение и интерференция когерентных световых волн.
Наблюдать интерференционную картину можно также с помощью зеркала Лойда, билинзы Бийе и других оптических устройств, а также при отражении света от тонких прозрачных пленок.
Интерференция (см. главу 5). Устойчивая интерференционная картина возникает только при наложении таких волн, которые имеют постоянную во времени разность фаз в каждой точке пространства. Волны, удовлетворяющие этим условиям, и источники, создающие такие волны, называются когерентными. Условию когерентности удовлетворяют монохроматические волны, имеющие одинаковые частоты и постоянные разности начальных фаз. Монохроматическая волна характеризуется определенной длиной волны и связанной с ней частотой , где c– скорость света в вакууме.
Способы получения когерентных волн.
Получение когерентных волн для реализации интерференции в оптике осуществляется двумя способами:
инструментальное получение из данного источника двух когерентных;
деление фронта волны.
Схемы получения когерентных волн в первом случае основаны на получении двух источников, которые являются двумя изображениями данного единого излучающего центра (метод Юнга, бипризма Френеля, зеркала Френеля). Во втором случае получение когерентных волн происходит делением волны в пределах цуга на две волны (интерферометр Майкельсона, тонкие пленки, клин, кольца Ньютона).
6. Интерференция волн - наложение волн, при котором происходит их взаимное усиление в одних точках пространства и ослабление – в других. Результат интерференции зависит от разности фаз накладывающихся волн.
Интерферировать могут только волны, имеющие одинаковую частоту, в которых колебания совершаются вдоль одного и того же направления (т. е. когерентные волны). Интерференция бывает стационарной и нестационарной. Стационарную интерференционную картину могут давать только когерентные волны. Например, две сферические волны на поверхности воды, распространяющиеся от двух когерентных точечных источников, при интерференции дадут результирующую волну. Фронтом результирующей волны будет сфера.
При интерференции волн не происходит сложения их энергий. Интерференция волн приводит к перераспределению энергии колебаний между различными близко расположенными частицами среды. Это не противоречит закону сохранения энергии потому, что в среднем, для большой области пространства, энергия результирующей волны равна сумме энергий интерферирующих волн.
При наложении некогерентных волн средняя величина квадрата амплитуды результирующей волны равна сумме квадратов амплитуд накладывающихся волн. Энергия результирующих колебаний каждой точки среды равна сумме энергий ее колебаний, обусловленных всеми некогерентными волнами в отдельности.
7. В волновой оптике разработаны методы расчета интерференционной картины. Для расчетов используется величина произведения геометрического пути s световой волны (светового луча) в данной среде на показатель преломления n этой среды. Эта величина L = s · n получила название оптический путь волны (луча). Разность оптических путей двух волн ∆L = L1 – L2 = = s1n1 –s2 n2 получила название оптическая разность хода двух волн. Для расчета оптической разности хода удобнее рисовать лучи, а не волны.Условие максимумапри интерференции.
Если оптическая разность хода равна целому числу длин волн в вакууме: 
то колебания, возбуждаемые в данной точке среды обеими волнами, будут происходить в одинаковой фазе, а, значит, будут усУсловие минимума при интерференции.
Если оптическая разность хода равна полуцелому числу длин волн в вакууме: 
то колебания, возбуждаемые в данной точке среды обеими волнами, будут происходить в противофазе, а, значит, будут ослаблять друг друга.
8. В природе часто можно наблюдать радужное окрашивание тонких пленок (масляные пленки на воде, мыльные пузыри, оксидные пленка на металлах), возникающее в результате интерференции света, отраженного двумя поверхностями пленки.
Пусть на плоскопараллельную прозрачную пленку с показателем преломления п и толщиной d под углом i (рис. 249) падает плоская монохроматическая волна (для простоты рассмотрим один луч). На поверхности пленки в точке О луч разделится на два: частично отразится от верхней поверхности пленки, а частично преломится. Преломленный луч, дойдя до точки С, частично преломится в воздух (п0=1), а частично отразится и пойдет к точке В. Здесь он опять частично отразится (этот ход луча в дальнейшем из-за малой интенсивности не рассматриваем) и преломится, выходя в воздух под углом i. Вышедшие из пленки лучи 1 и 2 когерентны, если оптическая разность их хода мала по сравнению с длиной когерентности падающей волны. Если на их пути поставить собирающую линзу, то они сойдутся в одной из точек Р фокальной плоскости линзы. В результате возникает интерференционная картина, которая определяется оптической разностью хода между интерферирующими лучами.
